电磁场与电磁波学习笔记-1.场论初步

笔者的电磁场与电磁波学习笔记。第一章 场论初步

一. 标量场的方向导数与梯度

为了研究标场量任一点的临域内沿各个方向的变化规律，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。

1.1 标量场中的方向导数

方向导数是标量场$u(M)$在点$M_{_{0}}$处沿$l$方向对距离的变化率。

$\frac{\partial u}{\partial l}_{M_{0} } = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{u(M)-u(M_{0} )}{\Delta l}$ 在直角坐标系中，方向导数的计算公式为 $\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma$ 式中$\cos\alpha$,$\cos\beta$,$\cos\gamma$为$l$的方向余弦。

1.2 标量场的梯度

梯度是标量场中某点变化最快的方向及变化率。

$grad \space u$的方向即为标量场在$M$处变化率最大的方向，其模即为最大的变化率。

若以$e_{_{n}}$表示变化率最大的方向的单位矢量:

$grad \space u=e_{n} \frac{\partial u}{\partial l}_{max}$ 有如下算符：哈密顿算符（“Nabla”） $grad\space u=\nabla u$

• 直角坐标系中 $\nabla u=\vec{e_{a} } \frac{\partial }{\partial x} + \vec{e_{y} } \frac{\partial }{\partial y} + \vec{e_{z} } \frac{\partial }{\partial z}$
• 圆柱坐标系中 $\nabla u=\vec{e_{\rho } }\frac{\partial u}{\partial \rho} +\vec{e_{\psi } }\frac{\partial u}{\rho \partial \psi} + \vec{e_{z} }\frac{\partial u}{\partial z}$
• 球坐标系中 $\nabla u=\vec{e_{r} }\frac{\partial u}{\partial r} + \vec{e_{\theta} }\frac{\partial u}{r \partial \theta} +\vec{e_{\Phi} }\frac{\partial u}{r\sin\theta\partial \Phi}$

标量场梯度的特点：

• 标量场$u$的梯度是一个矢量场，通常将$\nabla u$为标量场$u$产生的梯度场。
• 标量场$u$在给定点$M$处沿任意方向$\vec{e_{l}}$的方向导数等于该点的梯度$\nabla u$在方向$\vec{e_{l}}$上的投影。
• 标量场$u$在点$M$处的梯度垂直于过该点的等势面,并指向$u$增加的方向。

二. 矢量场的通量和散度

2.1 矢量场

在直角坐标系下，矢量场可表示为$F=F(x,y,z,t)$或$F=F(\vec{r},t)$。
对于与时间无关的矢量场，可表示为$F=F(\vec{r})$。

2.2 矢量场的通量

通量是向量场垂直穿过某一曲面的总量。
称矢量$d\vec{S}=\vec{e_{n}}dS$为面元矢量。$\vec{e_{n}}$的取法：

• $dS$为开曲面$S$上的一个面元，由一条闭合曲线$C$围成，选择闭合曲线$C$的绕行方向后，按右螺旋法则规定$\vec{e_{n}}$方向。
• $dS$为闭曲面上的一个面元，取$\vec{e_{n}}$的方向为闭曲面的外法线方向。

在矢量场$F$中，矢量$F$穿过曲面$S$的通量为（面积分）：

$\Phi =\int _{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}=\int _{S} \vec{F}\cdot \vec{e_{n}}dS$

若$S$是一闭合曲面，通过闭合曲面的总通量表示为

$\Phi =\oint _{S} \vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint _{S} \vec{F}\cdot \vec{e_{n}}dS$ 这里的$\Phi$表示穿出曲面$S$的净通量。

• $\Phi > 0$ 穿出曲面$S$通量更多，$S$内部有正通量源。
• $\Phi < 0$ 穿出曲面$S$通量更少，$S$内部有负通量源。
• $\Phi = 0$ 穿出曲面和穿入曲面的通量相等，此时正通量源与负通量源代数和为0，或闭合曲面无通量源。

2.3 矢量场的散度

散度是向量场在某点的“源”或“汇”强度，正值为发散，负值为汇聚。
为了研究矢量场在一个点附近的通量特性，我们引入了矢量场的散度（当面极限为点时的通量）。

$div\vec{F}=\lim_{\Delta V \to 0} \frac{\oint _{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} }{\Delta V}$ $div\space \vec{F}$表示在点$M$处单位体积内散发出来矢量的通量（若极限存在），表示了通量源的密度。

• $div\space \vec{F} > 0$ 该点有发出矢量线的正通量源。
• $div\space \vec{F} < 0$ 该点有汇聚矢量线的负通量源。
• $div\space \vec{F} = 0$ 该点无通量源。

引入哈密顿算符

• 在直角坐标系中 $div\space \vec{F}=\nabla \cdot \vec{F}$
• 在圆柱坐标系和球坐标系中见书

散度运算的规律

• 数乘
• 矢量加法
• 标量*矢量 $\nabla \cdot (u\vec{F})=u\cdot \nabla \cdot \vec{F} + \vec{F} \cdot \nabla u$

2.4 散度定理

散度定理（高斯定理）表明矢量场的散度在任意体积$V$上的体积分等于矢量场穿出限定该体积的闭合曲面$S$的通量。
散度定理是矢量的散度的体积分与该矢量在闭合曲面上的法向向量的曲面积分之间的一个变换关系。

$\int _{V} \nabla \cdot \vec{F}dV=\oint _{S} \vec{F} \cdot d\vec{S}=\Phi$

我认为可以理解为：散度其实就是通量在矢量场中的体密度，而对散度做体积分就等于通量

三. 矢量场的环流与旋度

3.1 环流与环流面密度

3.1.1 环流量

环流量是向量场沿闭合路径的环流累积量，反映场围绕路径的旋转趋势。
矢量场$F$沿场中的一条有向闭合路径$C$的曲线积分

$\Gamma = \oint _{C} \vec{F} \cdot d\vec{l}$ 称为矢量场$F$沿闭合曲线$C$的环流，其中$d\vec{l}$是路径上的线元矢量，其大小为$dl$方向沿路径$C$的切线方向。 矢量场的环流描述了矢量场的一种源，这种源产生的矢量场的矢量线是闭合曲线，通常将这种源称为涡流源。

3.1.2 环流量密度

我们为了知道在每一点附近的环流状态，在矢量场$F$中的$M$选取方向$\vec{e_{n}}$，并以此方向为法向矢量做一面元矢量$\Delta \vec{S}$，其边界为有向闭合路径$C$，且路径方向与面元的法向矢量$\vec{e_{n}}$成右螺旋关系（取一面元）。
当面元保持以$\vec{e_{n}}$为法线方向以任意方式收缩到$M$时（面元方向不变，收缩到一点），有矢量场$F$在$M$沿方向$\vec{e_{n}}$的环流面密度$rot_{n}\vec{F}$:

$rot_{n}\vec{F}=\lim _{\Delta S \to 0}\frac{\oint _{C} \vec{F} \cdot d\vec{l}}{\Delta S}$ 环流面密度与$M$的位置和面元矢量的法向$\vec{e_{n}}$有关。矢量场在点$M$处沿方向$\vec{e_{n}}$的环流面密度就是该点的涡流元密度（即通过单位横截面积的涡流源）在方向$\vec{e_{n}}$上的投影。

3.2 矢量场的旋度

旋度是向量场在某点的旋转效应强度及方向。
为了描述在某一个确定方向上环流面密度取得最大值的问题，引入了旋度的概念。矢量场$F$在点$M$处的旋度定义为一个矢量，以符号$rot \space F$（或$curl \space F$）来表示。它在点$M$沿方向$\vec{e_{n}}$处的分量等于矢量场$F$在点$M$处沿方向$\vec{e_{n}}$的环流面密度：

$\vec{e_{n}}\cdot rot \vec{F}=rot_{n} \vec{F}$ $rot\space F$的方向是矢量场$F$在点$M$处取得最大环流面密度的方向，其模等于该最大环流面密度（和梯度定义类似，但是矢量场），即 $rot \vec{F}=\vec{e_{nm}}(\lim _{\Delta S \to 0} \frac{\oint _{C} \vec{F}\cdot d\vec{l}}{\Delta S})_{max}$

引入哈密顿算符

• 在直角坐标系中 $rot \vec{F}=\nabla\times \vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{e_{x}} &\vec{e_{y}} & \vec{e_{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial {y}} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_{x} & F_{y} & F_{z}\end{vmatrix}$
• 在圆柱坐标系和球坐标系中见书

旋度运算的规律

• 数乘
• 矢量加法
• 标量*矢量 $\nabla\times(u\vec{F})=u\nabla\times\vec{F}-\vec{F}\times\nabla u$

3.3 斯托克斯定理

在矢量场$F$所在空间中，对于任一个以曲线$C$为周界的曲面$S$，存在如下关系式：

$\int _{S} \nabla \times \vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint _{C} \vec{F}\cdot d\vec{l}$

和散度定律类似：旋度其实就是环流在矢量场中的体密度，而对旋度做体积分就等于环流量

四. 无旋场的标量位

4.1 梯无旋

一个重要规律：标量场梯度的旋度恒等于零（梯无旋），也就是说任何标量场的梯度场一定是无旋场。

$\nabla \times(\nabla u)\equiv 0$ 这表明了对于一个旋度处处为0的矢量场$F$，总可以把它表示成某一标量场的梯度。即若 $\nabla\times\vec{F}\equiv 0$ 则存在标量函数$u$使得 $\vec{F}=-\nabla u$ 函数$u$成为无旋场$\vec{F}$的标量位函数，简称标量位。

同样可证明，一个标量场可由它的梯度完全决定。

若矢量场无旋，则矢量场的散度的相反数是矢量场的标量位。

Deepseek:
标量场梯度场无旋（梯无旋）的物理原因可归纳为：

• 保守场的本质
  标量场的梯度描述“势能变化最快的方向”（如电势梯度形成电场）。这类场本质是保守场，其做功与路径无关，闭合路径积分为零。旋度反映场的“旋转性”，而保守场无此特性，故旋度必然为零。例如，重力场由重力势梯度产生，其旋度为零，无法形成漩涡。
• 数学对称性
  数学上，梯度（∇）与旋度（∇×）的组合满足恒等式∇×(∇φ) ≡ 0。具体计算时，旋度的每个分量涉及二阶混合偏导数（如∂²φ/∂y∂z与∂²φ/∂z∂y）。根据克莱罗定理（二阶导数连续时对称），这些项相等但符号相反，最终相互抵消，结果为零。
  结论：梯度场本质描述无旋保守场，数学上由偏导数的对称性保证其旋度恒为零。

4.2 标量泊松方程与拉普拉斯方程

设无旋场$F$的散度为

$\nabla\times\vec{F}=g$ 式中$g$为已知矢量函数。 将矢量位$g$带入得 $\nabla\cdot(\nabla u)=-g$ 对标量场$u$的拉普拉斯运算记为 $\nabla\cdot(\nabla u)=\nabla^{2}u$ 带入上式，有标量泊松方程： $\nabla ^{2}u=-g$ 在$g=0$（矢量位的梯度为零）的区域，有拉普拉斯方程： $\nabla^{2}u=0$ 可得到直角坐标系的中对标量函数u的拉普拉斯运算： $\nabla^{2}u=\nabla\cdot(\vec{e_{x}}\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e_{y}}\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e_{z}}\frac{\partial u}{\partial z})=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z ^{2}}$ 其他坐标系见书。

五. 无散场的矢量位

5.1 旋无散

另一个重要规律：矢量场旋度的散度恒等于零（旋无散），也就是说任何矢量场的旋度场一定是无散场。

$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A})\equiv 0$ 这表明了对于一个散度处处为0的矢量场$\vec{F}$，总可以把它表示为某一个矢量场的旋度。即若 $\nabla \cdot \vec{F} \equiv 0$ 则存在矢量函数$A$使得 $\vec{F}=\nabla \times \vec{A}$ 函数$A$称为无散场$F$的矢量位函数，简称矢量位。

若矢量场无散，则矢量场的旋度是矢量场的矢量位。

Deepseek:
矢量场的旋度场无散（旋无散）的原因可归结为以下两点：

• 场的几何特性：
  旋度描述场的“旋转”性质，如磁场围绕电流形成的闭合环路。旋度场中的场线总是闭合或延伸至无穷远，不会从某点发散或汇聚，因此无源无汇，散度自然为零。例如，静磁场由电流（电场的旋度）产生，其散度为零，对应自然界中不存在磁单极子。
• 数学恒等性：
  数学上，旋度（∇×）和散度（∇·）算子的组合满足恒等式∇·(∇×F) ≡ 0。具体而言,计算旋度时涉及偏导数的交叉组合（如∂/∂y, ∂/∂z等）,再取散度会引入二阶混合偏导数（如∂²/∂y∂z）。根据克莱罗定理（二阶偏导连续时对称），这些混合偏导数项符号相反、大小相等，最终相互抵消，结果为零。

结论：旋度场本质描述无源闭合场，数学上由微分算子的对称性保证其散度恒为零。

5.2 矢量泊松方程与矢量拉普拉斯方程

设无散场$F$的旋度为

$\nabla \times \vec{F} = \vec{G}$ 式中$\vec{G}$为已知矢量函数。 将矢量位$\vec{A}$带入得 $\nabla\times(\nabla\times\vec{A})=\vec{G}$ 定义矢量场$\vec{A}$的拉普拉斯运算$\nabla ^{2}\vec{A}$为 $\nabla ^{2}\vec{A}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \vec{A})-\nabla \times(\nabla\times\vec{A})$ 可得 $\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^{2}\vec{A}=\vec{G}$ 若$\nabla\cdot\vec{A}=0$（矢量位的散度为零），则得到矢量泊松方程： $\nabla^{2}\vec{A}=-\vec{G}$ 在$\vec{G}=0$的区域，则有矢量拉普拉斯方程： $\nabla^{2}\vec{A}=0$ 将矢量泊松方程分解为三个分量的标量拉普拉斯方程（仅对直角坐标才有$(\nabla^{2}\vec{A})_{i}=\nabla^{2}A_{i}(i=x,y,z)$） $\begin{cases}\nabla^{2}A_{x}=-G_{x} \\\nabla^{2}A_{y}=-G_{y} \\\nabla^{2}A_{z}=-G_{z}\end{cases}$

六. 格林定律

格林定律描述了两个标量场之间的关系，如果一直其中一个场的分布，可以利用格林定律求解另一个场的分布。

$u,v$为体积$V$内具有连续二阶偏导数的两个任意标量函数。

6.1 格林第一恒等式

$\int_{V}(u\nabla^{2}v+\nabla u\cdot \nabla v)dV=\oint_{S} u \nabla v \cdot \vec {e_{n}}dS$

6.2 格林第二恒等式

$\int_{V}(u\nabla^{2}v-v\nabla^{2}u)dV=\oint_{S}(u\nabla v-v\nabla u)\cdot \vec{e_{n}}dS$ 也可写成 $\int_{V}(u\nabla^{2}v-v\nabla^{2}u)dV=\oint_{S}(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})dS$

七. 亥姆霍兹定律

见书